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9.0 Principe de diagonalisation généralisé

ILe principe de construction est simple puisque l’azimut est arctg 7/10. Au point origine O, on trace (pl. 7) le triangle rectangle ONP (ou le rectangle de côtés 100 et 70 ; on a choisi de prendre 10 centuries pour unité pour la clarté du dessin). Le triangle est inscrit dans un cercle de centre Q (milieu des diagonales). L’angle au sommet O est égal à  (35°). Les 2 diagonales à l’origine représentent les lignes de progression, notées  0 et  0. La diagonale  0 est orientée ici selon la méridienne. On a donc défini un nouveau repère, dans lequel les coordonnées d’une borne X sont notées n et m. En effectuant un changement d’axes classique, on obtient les relations simples suivantes :

dd = 7 (n-m)
uk = 10 (n+m),
où µ = 10/cos  = 7/sin = est le vecteur unité dans ce référentiel.

Ainsi les coordonnées d’une borne sont égales à la différence et la somme de deux entiers naturels. Cette méthode bâtie sur la diagonale pourrait s’appliquer pour des angles différents. En particulier, dans le triangle d’or 3/4/5 (= 36°,87), on aura dd = 3 (n-m) et uk = 4 (n+m), avec µ = 5, c’est l’hypoténuse du triangle. C’est le principe de diagonalisation généralisé (Decramer L et alii. 1998. La grande centuriation de Tunisie : une œuvre exceptionnelle des géomètres romains. A paraître dans Archéologia, Juillet 1998).

La forma de la centuriation.

Dans cette nouvelle grille losangique, n et m croissent de 0 à l’origine à la valeur 19 au point I (dd 0, uk 380). Nous ne savons pas si les géomètres romains utilisaient une telle formulation ou des abaques équivalents. Les textes des gromatici montrent cependant l’usage d’une telle diagonalisation (diagonalis ) (Guy M. 1993. RAN et Anne Roth Congés. 1996. MEFRA). Corollaires. On a d’autre part les relations suivantes :

dd/uk = tg * (n-m)/ n+m) avec ~ 35°
(dd² + uk²)/µ² = n²+ m² + 2 n*m* cos 2 
où le vecteur unitaire µ = 12, 20 c. (~ 8,59 km).

Remarques. Les Romains ne connaissaient pas la tangente, nous l’employons ici par commodité avec notre écriture moderne, tg est en fait un ratio égal à 7/10. La notion des cordes leur est plus familière (D’Hollander R. 1997. Sciences géographiques, connaissance du monde et conception de l’Univers dans l’Antiquité. AFT, fasc.II, p. 230 et suivantes. Tables d’Hipparque) et celle-ci est liée à la fonction sinus : crd  = 2 sin  /2 que nous traiterons plus loin. Ainsi les coordonnées romaines de toutes les bornes sont présentées planche 8 selon la double notation : dd, uk et m, n. Elles sont classées selon l’ordre croissant de n et m, c’est à dire selon les uk croissants. Pour illustrer la progression, prenons un exemple (fig. 7) : le géomètre part de l’origine 0 selon la méridienne (au cadran solaire), il compte sur cette ligne 5 unités (n=5), c’est le point Q (m=0, n=5). Dans ce cas, les valeurs romaines de cette borne sont : dd = 7*(5-0)= 35, uk = 10*(5+0) = 50. Il poursuit sa progression selon cette même méridienne jusqu’au point G (n=19), prend un azimut de 35°*2 = 70° (axe  ) jusqu’à une valeur m = 9. Cette borne a pour coordonnées dd = 7*(19-9) = 70, uk = 10 (19+9) = 280, c’est la borne 1 d’Henchir Chenah (ill. 2). C’est le principe simplifié de progression de l’arpenteur. Celui-ci peut évidemment, en fonction des obstacles naturels rencontrés, passer d’une ligne à une autre dans sa grille losangique. Il effectue un parcours en forme de baïonnette.

Coordonnées des bornes dans le double système d'axes.

 

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